Biot-Savart定律和磁感应矢量循环定理

1820年，法国科学家让-巴普蒂斯特·比奥和费利克斯·萨瓦尔在研究直流磁场的联合实验过程中，明确确定流过导体的直流电流的磁感应可以认为是这根电线所有部分都带有电流的一般动作。这意味着磁场服从叠加原理（the principle of superposition of fields）。

一组直流电线产生的磁场具有以下特性 磁感应它的值定义为每个导体分别产生的磁感应强度的矢量和。也就是说，直流导体的电感 B 可以用属于所考虑的直流导体 I 的初级部分 dl 的初级电感 dB 的矢量和来表示。

隔离直流导体的基本部分实际上是不现实的，因为 特区 总是关闭。但是您可以测量一根导线产生的总磁感应强度，即由给定导线的所有基本部分产生的总磁感应强度。

因此，Biot-Sovar 定律允许您找到导体截面（已知长度 dl）的磁感应强度 B 的值，在给定的直流电流 I 下，距导体的该截面一定距离 r 且在 a 内从所选截面的特定观察方向（通过电流方向与从导体截面到导体附近空间中的被检查点的方向之间的夹角的正弦设置）：

实验证明，磁感应矢量的方向很容易通过右手螺旋或万向节规则确定：如果万向节在其旋转过程中的平移运动方向与导线中直流电流 I 的方向一致，则 万向节手柄的旋转方向 确定给定电流产生的磁感应矢量 B 的方向。

直线载流导线的磁场，以及对其应用 Bio-Savart 定律的图示，如图所示：

因此，如果我们积分，即添加恒流导体的每个小部分对总磁场的贡献，我们可以得到一个公式，用于从中找到特定半径 R 处的电流导体的磁感应强度.

同理，利用比奥萨瓦定律，可以计算出不同配置的直流电在空间中某些点的磁感应强度，例如，有电流的圆形电路中心的磁感应强度为以下公式：

磁感应矢量的方向根据万向节规则很容易找到，只是此时必须将万向节向闭合电流的方向旋转，万向节向前运动会显示磁感应矢量的方向。

如果我们考虑由生成场给出的电流配置的对称性，通常可以简化关于磁场的计算。这里可以用到磁感应矢量的循环定理（类似于静电学中的高斯定理）。什么是“磁感应矢量的循环”？

让我们在空间中选择一个任意形状的闭环，并有条件地指示其行进的正方向。对于这个环的每个点，您可以找到磁感应矢量 B 在该点的环切线上的投影。那么这些量乘以等高线所有截面的基本长度的乘积之和就是磁感应矢量B沿这条等高线的循环量：

实际上，在这里产生一般磁场的所有电流都可以穿透所考虑的电路，或者其中一些可以在电路之外。根据环流定理：直流电在闭环中的磁感应强度矢量B的环流值在数值上等于磁常数mu0与通过该环路的所有直流电之和的乘积。该定理由安德烈·玛丽·安培 (Andre Marie Ampere) 于 1826 年制定：

考虑上图。这里，电流 I1 和 I2 穿过电路，但它们指向不同的方向，这意味着它们有条件地具有不同的符号。正号将有一个电流，其磁感应方向（根据基本规则）与所选电路的旁路方向一致。对于这种情况，循环定理采用以下形式：

总的来说，磁感应矢量B的循环定理遵循磁场叠加原理和毕奥-萨瓦定律。

例如，我们推导了直流导体的磁感应强度的公式。让我们选择一个圆形的轮廓，这条线穿过圆心，并且线垂直于轮廓的平面。

因此，圆心直接位于导体的中心，即位于导体中。由于图是对称的，向量B与圆相切，因此它在切线上的投影处处相同，等于向量B的长度。循环定理写成：

因此，直流电的直导体的磁感应强度公式如下（上面已经给出了该公式）。类似地，使用循环定理，可以很容易地找到对称直流配置的磁感应强度，其中磁力线的图片很容易可视化。

循环定理应用的一个实际重要示例是找到环形电感器内部的磁场。

假设有一个环形线圈绕在圈数为 N 的甜甜圈形纸板框架上。在这种配置中，磁感应线被包围在甜甜圈内并且形状为同心（彼此内）圆.

如果沿着甜甜圈的内轴观察磁感应矢量的方向，就会发现电流到处都是顺时针方向（根据万向节规则）。考虑线圈内部的磁感应线之一（以红色显示），并选择它作为半径为 r 的圆环。那么给定电路的循环定理写成如下：

线圈内部磁场的磁感应强度等于：

对于一个薄的环形线圈，其磁场在其整个横截面上几乎是均匀的，可以像无限长的螺线管一样写出磁感应强度的表达式，同时考虑每单位长度的匝数—— ñ：

现在考虑一个无限长的螺线管，其中磁场完全位于内部。我们将循环定理应用于选定的矩形轮廓。

这里磁感应矢量将仅在第 2 侧（其长度等于 L）上给出非零投影。使用参数 n — «每单位长度的匝数»，我们得到循环定理的这种形式，它最终简化为与 multitonCoy 环形线圈相同的形式：