矢量场的流动和环流

N基于 Richard Feynman 的讲座材料

在用矢量场描述电定律时，我们面临着矢量场的两个数学上重要的特征：通量和环流。如果能理解这些数学概念是什么以及它们的实际意义是什么，那就太好了。

问题的第二部分很容易马上回答，因为流量和循环的概念是 麦克斯韦方程组，所有现代电动力学实际上都基于它。

因此，例如，电磁感应定律可以表述如下：电场 E 沿闭环 C 的环流等于磁场 B 穿过由其界定的表面 S 的通量变化率循环 B。

在下文中，我们将使用清晰的流体示例非常简单地描述如何以数学方式确定场特征，并从中获取和获得这些场特征。

矢量场通量

首先，让我们在研究区域周围绘制一个完全任意形状的特定封闭曲面。描绘完这个表面后，我们会问研究对象（我们称之为场）是否流过这个封闭表面。要了解这是怎么一回事，请考虑一个简单的液体示例。

假设我们正在研究某种流体的速度场。对于这样的例子，有必要问：每单位时间流经该表面的流体是否多于流入该表面所包围的体积的流体？换句话说，流出率是否总是主要从内向外？

通过表达式“矢量场通量”（对于我们的示例，表达式“流体速度通量”将更准确），我们将同意命名流过给定边界的所考虑体积表面的假想流体总量封闭表面（对于流体流速，单位时间内从体积流出多少流体）。

结果，通过表面单元的通量将等于表面单元的面积与速度的垂直分量的乘积。那么整个表面的总（总）通量将等于速度的平均法向分量（我们将从内向外计算）与总表面积的乘积。

现在回到电场。电场当然不能被认为是某种液体的流动速度，但是我们有权引入一个流动的数学概念，类似于我们上面描述的液体速度的流动。

只有在电场的情况下，它的通量可以由电场强度E的平均法向分量E来确定。另外，电场的通量不一定通过封闭的表面，而是通过任何有界的表面来确定非零区域 S 。

矢量场的环流

众所周知，为了更清楚起见，可以用所谓的力线的形式来描绘场，在力线的每个点处，切线的方向与场强的方向重合。

让我们回到流体类比，想象一下流体的速度场。让我们问自己一个问题：流体是否在循环？也就是说，它是否主要朝着某个假想的闭环方向移动？

为了更清楚，想象一个大容器中的液体以某种方式移动（图 A），我们突然冻结了几乎所有的体积，但设法使体积以均匀封闭的管的形式未冻结，其中没有液体在壁上的摩擦（图 b）。

在这个管子外面，液体已经变成冰，因此不能再移动，但是在管子里面，液体能够继续它的运动，前提是有一个主导的动量驱动它，例如，沿顺时针方向（图 1）。 °C)。则管内流体速度与管长的乘积称为流体速度循环。

类似地，我们可以为矢量场定义环流，虽然该场不能说是任何东西的速度，但我们仍然可以定义“环流”沿等高线的数学特征。

因此，矢量场沿假想闭环的环流可以定义为矢量在环路通过方向的平均切向分量与环路长度的乘积。